Aiuti & Suggerimenti [Matematica / Fisica]

[gardus]

In comune accordo con @@Marcolino2, apro questo thread per offrire aiuti e suggerimenti a tutti gli studenti che hanno dei dubbi e delle perplessità in Matematica o Fisica (per la fisica avanzata l'esperto è Marcolino2).

 

Vista la limitatezza degli strumenti a disposizione, sarà quasi impossibile scrivere formule complesse quindi cercate di fare domande concettuali, legate magari alla non comprensione di una definizione o di un particolare teorema, alle quali si possa rispondere il più possibile senza formule. Ovviamente, quando saranno strettamente necessarie, si cercherà di includerle nel modo migliore possibile.

 

Qualora vi trovaste di fronte ad un problema di vitale importanza la cui risoluzione è una questione di vita o di morte, potete sperare che qualcuno vi prenda "in custodia" e lo risolva per voi. In questo caso la discussione sarà deviata nei messaggi privati, con i quali si possono inviare anche documenti in allegato.

 

Chiunque abbia le competenze sufficienti per contribuire è il benvenuto.

 

Spero che possiate apprezzare la nostra iniziativa e che possa essere utile a molti di voi.

Edited July 15, 2012 by gardus

[Marcolino2]

Mi associo a quanto detto da gardus, con il quale abbiamo dato vita a questa iniziativa. Cercheremo di darvi aiuto e suggerimenti quando avrete delle perplessita' in matematica e/o fisica. Benvenuti.

[Altair]

Vale anche per Statistica? :)

[PGN]

Complimenti a @@Marcolino2 e @gardus. Troppo simpatica la cosa che avete fatto .

[gardus]

@@Altair per quanto mi riguarda, dipende dal livello di complessità dell'argomento. Io di Statistica ho avuto un solo esame e non ho scelto di approfondirne lo studio attraverso i corsi a libera scelta (ho preferito materie come Teoria dei Numeri, Crittografia, Analisi Matematica e Fisica Matematica). Fino alla distribuzione gaussiana n-dimensionale ok, più avanti per me "hic sunt leones"

Edited July 15, 2012 by gardus

[Marcolino2]

Mi associo a gardus. Anche per me dipende dal livello di complessita'. Anche io ho fatto un solo esame di statistica e analisi dei dati.

[Altair]

@@gardus cioè vorresti dirmi che il vostro programma (scienze matematiche, ingegneria?) si fermava alla distribuzione normale?

[Marcolino2]

Ti parlo per la mia esprienza. Nel mio caso l'esame era probabilita' e ststistica semestrale. Si dava molta importanza soprattutto alla parte della probabilita', ai metodi di fitting e analisi dati, distribuzioni varie (gaussiane, student, chi quadro, etc.) e ai metodi numerici. Facoltativamente, c'erano anche altri esami di statistica da poter scegliere ma nel mio caso ho scelto quelli di fisica.

[gardus]

@@Altair sì, se non ricordo male l'ultimo argomento è stato proprio la distribuzione gaussiana n-dimensionale (non proprio una cosa elementare) ed il corso si chiamava "Probabilità e Statistica Matematica". Chi avesse voluto (ti parlo da matematico) avrebbe potuto approfondire lo studio della Statistica scegliendo i giusti esami opzionali. Io non li ho scelti perché ero interessato più ad altre branche, come la Teoria dei Numeri e l'Analisi Matematica. Dopotutto, la Statistica si è enormemente sviluppata a tal punto da esserci proprio un corso di laurea a sé stante.

Edited July 15, 2012 by gardus

[Altair]

Capito. Purtroppo il mio corso è un pò più ampio, oltre alla parte di statistica descrittiva

e di probabilità ho anche un modulo sulla statistica inferenziale.

 

Un programma eccessivo e quasi inutile per chi, come me, dovrebbe usare la statistica

solo come ausilio per modelli economici e non ai livelli di un matematico, di uno statistico

o di un esperto di econometria.

[Marcolino2]

Beh, pero' se ci sono argomenti su cui noi possiamo aiutarti lo faremo volentieri.

[gardus]

@@Altair appena ho letto nel tuo post "statistica inferenziale" mi è sorto un dubbio e sono andato a controllare negli appunti e nel libro di testo... mea culpa, gli ultimi argomenti che ho studiato riguardano alcuni cenni (anche perché nelle ultime 2 lezioni più di tanto non si può fare) sull'induzione statistica sulla distribuzione bernoulliana e sulla distribuzione normale (il fatto che non li ricordassi denota quanto abbia preferito altre cose). Sì certo, dovrei darci una "ripassatina", ma se per te va bene puoi comunque esternare i tuoi dubbi: magari non ti risponderò subito ma tra qualche giorno

Edited July 15, 2012 by gardus

[privateuniverse]

@Altair

Intanto chiedi, poi se ne parla.

[Altair]

L'esame lo dovrò dare a settembre, per cui comincerò con lo studio finita

questa sessione e dopo una settimana di meritata vacanze.

 

Poi vi assillerò con tutte le mille domande sull'argomento.

 

Comunque grazie :)

[Marcolino2]

Ok, se ti possiamo dare una mano lo facciamo volentieri :)

[NamelessDreamer]

 

Poi vi assillerò con tutte le mille domande sull'argomento.

 

Io dovrei ricordare qualcosa di statistica (dopo 2 esami di statistica e 3 di econometria ), quindi se hai qualche problema scrivilo qui!

Cosa avete fatto di preciso? Le cose base? Tipo test di verifica d'ipotesi, ols, tsls, mle, intervalli di confidenza...?

 

@@gardus e @Marcolino2, avete avuto una bella idea! Bravi!

Usate per caso matlab?

[Altair]

@@NamelessDreamer si, retta dei minimi quadrati, intervalli di confidenza, variabili aleatorie e tutta quella robaccia lì.

[gardus]

@@NamelessDreamer E' bello sapere che hai apprezzato la nostra idea ;-) No, io non ho mai usato Matlab. Qualche tempo fa ho utilizzato assiduamente "Mathematica" ed ora se ho bisogno di un aiuto computazionale sfrutto WolframAlpha --> http://www.wolframalpha.com/

[Marcolino2]

@@NamelessDreamer si', ho usato matlab, sono un po' arrugginito, ma se hai bisogno chiedi. @altair: per quella robaccia ti posso dare una mano, sempre previa rispolverata ... :)

[privateuniverse]

Io ce l'ho una domanda molto generale.

 

Cos'è la topologia? E a che serve?

 

Mi ci ha fatto pensare l'avatar di gardus, mi ha ricordato che anni fa sono andato a Trento al Festival dell'Economia e c'era una piccola mostra di matematica con dei nodi che esemplificavano dei semplici problemi di topologia e io neanche sapevo che esistesse.

[Marcolino2]

Beh, ti comincio a dare una risposta introduttiva.La topologia (significa in greco "studio dei luoghi") si occupa di come le figure si possono deformare e di cosa cambia (e non cambia) nella deformazione. ti faccio un esempio: dal punto di vista topologico un rettangolo e un cerchio sono la stessa cosa. Mi chiederai allora come sia possibile...Immagina di avere una superficie di gomma su cui disegni un cerchio. Con un po' di sforzo e con l'aiuto di qualche amico, tirando e deformando la superficie gommosa da una parte all'altra il cerchio disegnato inizialmente potra' assumere la forma di un rettangolo. Allo stesso modo, ma in tre dimensioni, un cubo e una sfera dal punto di vista topologico sono la stessa cosa perche' e' possibile deformare l'uno per ottenere l'altro. Una sfera e una ciambella (chiamata in matematica "toro circolare" ) invece non sono equivalenti dal punto di vista topologico. La ciambella infatti ha un buco, la sfera no. Per quanti sforzi uno possa fare non si potra' mai trasformare un oggetto che ha una cavita' come la ciambella in un oggetto senza cavita' come la sfera. Spero che questa prima parte sia chiara, altrimenti chiedimi chiarimenti e ulteriori spiegazioni.

[gardus]

@@privateuniverse Sì, occhio che manca un dettaglio fondamentale: le deformazioni di cui ha parlato Marcolino devono avvenire con continuità e ciò significa, usando un linguaggio un po' più semplice, senza "strappi". Questa idea intuitiva viene formalizzata con la definizione di omeomorfismo tra spazi topologici e le figure geometriche che ha chiamato in causa sono esempi particolari di spazi topologici fra loro omoeomorfi proprio perché deformabili l'uno nell'altro con continuità.

 

In realtà, la definizione di spazio topologico è enormemente più astratta ed è proprio qui che si cela la sua vera potenza. Mi spiego meglio: si definisce spazio topologico un insieme (sì, proprio un insieme qualsiasi) su cui sia stata identificata una collezione di suoi sottoinsiemi (che vengono detti aperti) in modo tale che siano verificate alcune proprietà. Ti faccio osservare una cosa: nulla è stato chiesto riguardo alla possibilità che sull'insieme di partenza sia possibile effettuare misure. Noi siamo abituati a calcolare distanze, ma solo perchè viviamo in uno spazio che è descrivibile attraverso un modello matematico che è in particolare uno spazio topologico metrico. Perché dare allora quella definizione così astratta? Ecco che arrivano le risposte alle tue domande: perché è possibile definire nozioni di geometria che prescindano dalla possibilità di calcolare distanze (cioè di effettuare misure). Quello che ti ha detto Marcolino è un altro dei punti cruciali della topologia, infatti esistono tutta una serie di problemi che non dipendono dalla forma esatta degli enti coinvolti, ma piuttosto dalle loro proprietà intrinseche, cioè invarianti per deformazioni continue o, come diciamo noi matematici, invarianti per omeomorfismi.

Edited July 17, 2012 by gardus

[privateuniverse]

Cosa distingue un insieme, o un sottoinsieme, aperto, da uno chiuso?

(Mi pare di ricordare che queste cose facessero parte della teoria degli insiemi che s'insegna in prima liceo scientifico, ma forse ricordo male).

Ed è possibile fare esempi di problemi che dipenda dalla forma esatta degli enti coinvolti?

 

 

PS Marcolino, l'esempio della sfera e della ciambella è chiaro. :)

 

PS2 Se sono domande stupide o diverse da quelle cui intendevate rispondere siete esentati. :)

[gardus]

Non sono affatto domande stupide

 

Cosa distingue un insieme, o un sottoinsieme, aperto, da uno chiuso?

 

Di solito in prima superiore si accenna qualcosa a proposito della teoria assiomatica degli insiemi, ma non si parla di sottoinsiemi aperti/chiusi finchè non si arriva più o meno in 4a o 5a iniziando le basi dell'analisi matematica, ma ci si limita solo a sottoinsiemi dei numeri reali (caso molto, molto particolare). Per rispondere alla tua domanda non resisto alla tentazione di darti la definizione esatta di spazio topologico (spero mi perdonerai):

 

Sia X un insieme qualsiasi. Si definisce topologia su X il dato di una famiglia F di sottoinsiemi di X tali che:

1) l'insieme vuoto e tutto X appartengano a F

2) l'unione arbitraria (cioè finita o infinita) di elementi di F sia ancora un elemento di F

3) l'intersezione di un numero finito di elementi di F appartenga ancora alla famiglia F

In questo caso, l'insieme X munito della topologia F viene chiamato spazio topologico e gli elementi di F vengono detti sottoinsiemi aperti.

 

Nota una cosa: l'insieme X da solo non è niente, solo un insieme. Se lo si vede munito di una topologia allora acquista la struttura di spazio topologico. Ovviamente, è possibile avere più topologie diverse su uno stesso insieme. Ora, per arrivare alla tua domanda, serve un'altra definizione:

 

Sia (X,F) uno spazio topologico e sia S un sottoinsieme di X.

Si dice che S è chiuso se esiste un sottoinsieme aperto appartenente alla topologia F di cui è il complementare.

 

Quindi cosa distingue un sottoinsieme aperto da uno chiuso? Semplicemente la topologia che stiamo considerando. Ti dico inoltre una cosa che farebbe svenire qualsiasi linguista: apertura e chisura non sono nozioni che si escludono a vicenda, ovvero un sottoinsieme arbitrario di un spazio topologico può essere contemporaneamente aperto e chiuso (come l'insieme X stesso) oppure nè aperto nè chiuso.

 

Per ricollegarmi a quanto ti ho scritto in precedenza, le più importanti nozioni di topologia che vengono date a prescindere dalla forma esatta degli insiemi coinvolti sono la connessione, connessione per archi, semplice connessione e compattezza. Ora:

 

Ed è possibile fare esempi di problemi che dipenda dalla forma esatta degli enti coinvolti?

 

Bhè, qui ad esempio mi viene in mente una cosa che collega la topologia all'analisi matematica: studiando le forme differenziali, entità di fondamentale importanza anche in fisica per tutto quello che riguarda i potenziali dei campi gravitazionali, ci si trova di fronte a teoremi che caratterizzano le forme differenziali esatte (cioè proprio quelle che ammettono un potenziale sul dominio di definzione) ma richiedono come ipotesi dei particolari insiemi su cui siano definite: questi insiemi si dicono semplicemente connessi. La semplice connessione è una delle caratteristiche intrinseche che prescinde dalla forma esatta dell'insieme, basta solo che sia connesso (cioè, per dirla semplicemente, fatto tutto d'un pezzo) e privo di buchi. Poi mi viene in mente anche il problema dei ponti di Königsberg ed il problema della sfera pelosa (sì, è proprio chiamato in questo modo!).

Edited July 18, 2012 by gardus

[Marcolino2]

Uno dei principali problemi affrontati dalla topologia e',come diceva gardus, la la percorribilita' di una rete topologica. In modo particolare Eulero studio' se era possibile percorrere la rete (diciamo intuitivamente un percorso chiuso con tante "strade") senza mai staccarsene e passando per tutti gli archi (diciamo tutte le strade) una sola volta ritornando al punto di partenza. Purtroppo non si possono allegare immagini, ma su google cerca "il problema dei sette ponti di konigsberg" per avere un'immagine. Premetto che il punto in cui si incontrano gli archi (ossia le "strade") si chiama nodo (e' una sorta di "incrocio"). Il numero di archi che si incontrano nel nodo si chiama ordine del nodo e puo' essere pari o dispari. Dopo lunghi studi Eulero formulo' 4 leggi:

1 in una rete topologica il numero di vertici dispari e' sempre in numero pari

2. Una rete che ha tutti i vertici pari e' senz'altro percorribile in un solo viaggio ritornando al punto di partenza e senza percorrere un arco due volte

3 una rete che contiene 2 e solo 2 vertici dispari si puo' percorrere in un solo viaggio ma senza ritornare al punto di partenza

4 una rete che contiene un nmero pari maggiore di 2 vertici dispari non e' mai percorribile in un solo viaggio. Il numero di viaggi che occorrono e' la meta' del numero dei vertici dispari.

 

[gardus]

Sì! Si possono allegare immagini!

Questa riguarda il problema dei ponti che abbiamo menzionato:

 

Edited July 18, 2012 by gardus

[Marcolino2]

Scusami non lo sapevo...credo che sia l'ipad. Ho problemi pure con you tube. O forse sono io che sono incapace.... Comunque grazie :)

[blob4]

Vorrei farvi una domanda non di teoria, ma sul corso di studi in Matematica /Fisica.

 

Ho intenzione di iscrivermi a Fisica tra qualche mese e so che, almeno a livello liceale, non sono malaccio; però è una scelta che ho preso, diciamo, a sentimento. Cioè non ho assolutamente idea di come sia il corso di Fisica e che a quali tipologie di sbocchi lavorativi dia accesso.

Mi sono informato leggendo alcuni documenti pubblicati sul sito della facoltà, ma capite bene che un parere umano è decisamente meglio di un elenco di esami da superare per qualcuno che non ha nessuna cognizione di ciò in cui sta per buttarsi xD

Se voi sapeste dirmi qualcosa, anche sulle vostre esperienze personali, mi fareste un gran piacere :) Grazie in anticipo.

Edited July 19, 2012 by blob4

[privateuniverse]

Avete avuto proprio una bella idea.

 

Senza contare che ho una notevole ammirazione per chi conosce matematica e/o fisica. :)

[Marcolino2]

Ciao blob4, io ho studiato matematica triennale, e fisica matematica nella specialistica...quindi diciamo che sono meta' e meta' (per la serie, confuso nell'orientamento sessuale e confuso pure tra matematica e fisica.. :) Beh, che dire...la facolta' di matematica e anche quella di fisica sono sicuramente facolta' impegnative, dove viene richiesto un impegno quotidiano costante, altrimenti avrai difficolta' a seguire cio' che il professore spiega. Tieni presente pero' che se hai passione per queste materie, riuscirai con l' impegno a superare tutti gli ostacoli. Se leggi i miei post, diciamo che non ho avuto anni facili (per motivi familiari), ma la passione per le materie che studiavo mi ha fatto andare avanti.per quanto riguarda la fisica, voglio dirti che e' molto piena di matematica, diciamo che e' abbastanza diversa da quella piu' discorsiva che si studia al liceo. Ad esempio nell'esame di mecdanica quantistica, relativita' generale, fisica nucleare e struttura della materia, viene utilizzata molta matematica di livello avanzato. Ci sono poi esami di laboratorio (io ne ho dati 4) che hanno natura ovviamente piu' pratica, anche se sono comunque impegnativi... Beh, chiedimi e fammi tutte le domande che vuoi...sono a tua disposizione :) per privateuniverse: ci piace condividere le nostre esperienze e cio' che sappiamo con gli altri :)