Aiuti & Suggerimenti [Matematica / Fisica]

[gardus]

@@Wizzis ho letto solo ora il tuo messaggio ma la tentazione è talmente forte che non riesco a non rispondere.

Spero che l'esame sia andato bene! :)

 

Allora, ci sarebbero tantissime cose da dire relativamente ad autovettori, autovalori e matrici diagonalizzabili, ora introduco il discorso poi nel caso chiedi qualunque approfondimento. Dato uno spazio vettoriale V sopra un campo e data un'applicazione lineare f di V in sè stesso (spesso chiamata endomorfismo), un vettore non nullo dello spazio V viene detto autovettore della trasformazione f se la sua immagine mediante f risulta essere un suo multiplo scalare. Più precisamente, un autovettore per l'endomorfismo f è un vettore v non nullo tale che:

 

f(v)=kv

 

con k scalare del campo sopra il quale è definito lo spazio vettoriale. In questo caso, k viene chiamato autovalore relativo all'autovettore v. Si definisce inoltre spettro dell'endomorfismo f l'insieme di tutti i suoi possibili autovalori. Un primo risultato importante che coinvolge autovettori ed autovalori è il seguente: l'insieme degli autovettori aventi lo stesso autovalore k, assieme al vettore nullo, forma un sottospazio vettoriale di V, detto autospazio relativo all'autovalore k (per dimostrare questo fatto è cruciale la linearità di f).

 

Ora, immagino che tu abbia visto esempi solo in casi di spazi vettoriali finitamente generati (cioè che ammettono una base finita). In questo caso, l'endomorfismo f viene rappresentato attraverso una matrice quadrata relativamente ad una data base di V e quindi, identificando i vettori dello spazio con le n-uple delle loro componenti rispetto alla base scelta, si può parlare di autovettori ed autovalori associati alla matrice che rappresenta l'applicazione f (ovviamente ciò ha senso in quanto si dimostra che gli autovalori della matrice che rappresenta f non dipendono dalla base che si sceglie per individuare tale matrice).

 

Data una matrice quadrata A, il suo polinomio caratteristico è dato dal determinante della matrice A - kI dove I è la matrice identica con lo stesso numero di righe di A. Si dimostra che le radici del polinomio caratteristico sono proprio tutti i possibili autovalori dell'endomorfismo rappresentato dalla matrice A (occhio che la matrice che rappresenta un endomorfismo è sempre quadrata).

 

Infine, dato un endomorfismo f : V --> V, si dice che f è diagonalizzabile se esiste una particolare base di V rispetto alla quale la matrice che rappresenta f è diagonale (una matrice diagonale è una matrice quadrata in cui tutti gli elementi non appartenenti alla diagonale principale sono nulli).

 

Bon, ti ho fatto un super-riassunto: adesso dimmi tu cosa devo precisare meglio :)

Edited November 14, 2012 by gardus

[Marcolino2]

Riporto in alto questo topic per i "bisognosi" di aiuto :)

[marco7]

dimmi marcolino2: 2 + 2 fa sempre 4 o in certe condizioni il risultato è diverso ? 

[Marcolino2]

Dipende d'all'insieme numerico. Nell'insieme dei numeri reali 2+2=4 ma in altri insiemi come Z[3] 2+2=1

[gardus]

@@Marcolino2 dopo la tua risposta il topic è stato abbandonato, penso si siano spaventati tutti leggendo 2+2=1 

[Marcolino2]

@@gardus spero di no :P

[faby91]

Quel 2+2=1 mi ricorda vagamente 1984.... O.o

[katy91]

2+2=1 ? C'è qualcosa che non va oppure oggi ho scoperto di non saper fare neanche le addizioni??

[gardus]

 

 

2+2=1 ? C'è qualcosa che non va oppure oggi ho scoperto di non saper fare neanche le addizioni?? 

 

Tranquillo, l'uguaglianza scritta è giusta ma va contestualizzata :)

 

Scrivere 2+2=1 riferendosi ai numeri naturali è chiaramente sbagliato, il risultato corretto è 4. Tuttavia, non esistono solo i classici insiemi numerici (naturali, interi, razionali, reali e complessi) su cui poter definire delle operazioni, ma ne esistono molti altri tra cui le cosiddette "classi di resto". Nell'esempio che aveva portato Marcolino, l'insieme su cui si operava è Z₃ (insieme delle classi di resto modulo 3) ed in tale insieme l'uguaglianza scritta sopra è corretta. In realtà andrebbe scritto:

 

[2]₃ + [2]₃​ = [1]₃  (che si legge "classe di 2 modulo 3 più classe di due modulo 3 uguale a classe di 1 modulo 3)

 

ma spesso, per semplificare la notazione e qualora sia chiaro l'insieme su cui si opera, le parentesi quadre ed i pedici non si mettono. Ovviamente questo genera tanta confusione in chiunque legga 2+2=1 pensando si calcoli con numeri naturali 

[katy91]

@@gardus grazie per avermi fatto conoscere queste classi di resto,non sapevo neanche che esistessero anche se non ho ancora capito perché il risultato é,ma lascia stare,non lo capiró mai

[faby91]

Sommi 2 + 2 in classe 3

 

Risulta 3/3 quindi pieno e 1/3

 

elimini il 3 perchè è pieno e resta 1..

 

 

Almeno credo sia così.. Ma non ne ho mai sentito parlare quindi è una vaga ipotesi..

Ci ho preso @@gardus ??

[gardus]

 

 

non lo capiró mai

 

Non dire così, non hai capito perchè l'uguaglianza è vera semplicemente perchè io non l'ho spiegato! ;-)

Ho solo detto in quale contesto l'uguaglianza è vera, ma non l'ho motivato!

 

Oddio @faby91, sinceramente non mi è molto chiaro il tuo ragionamento :P

 

Spiegarvi rigorosamente in cosa consiste l'aritmetica modulare richiederebbe alcune ore di algebra, però voglio comunque darvi l'idea del perchè l'uguaglianza sia vera. Indichiamo con il simbolo Z₃ l'insieme:

 

Z₃ = { 0, 1, 2 }  (notate che i suoi elementi sono i possibili resti della divisione per 3)

 

Quando "sommate" due elementi di tale insieme dovete considerare come risultato il resto della divisione per 3 della loro somma algebrica. Ora, se provate a fare i calcoli, dovreste capire perché in tale insieme 2+2=1 ed a questo punto non vi dovreste nemmeno sorprendere nel leggere 2+1=0 ;-)

[katy91]

@@gardus continuo a non capire sono totalmente ignorante in matematica...se non ti scocci potresti spiegarlo meglio prendendo in considerazione quell'esempio? Grazie :P

[gardus]

@@katy91 quando calcoli una somma tra due elementi di Z₃ consideri prima di tutto la loro somma algebrica "naturale" ma poi come risultato dell'operazione consideri il resto modulo 3, ovvero il resto della divisione euclidea per 3. Quindi:

 

2 + 2 farebbe 4 ma visto che operiamo in Z₃ devi considerare il resto della divisione di 4 per 3, ovvero 1 infatti 4 = 3 x 1 + 1

--> 2+2=1 in Z₃

 

@@faby91 era questo quello che intendevi? :)

[katy91]

@@gardus Ah,ok ora ho capito,grazie per la pazienza una curiosità,si può operare anche in Z4,Z5 eccetera..?

Edited June 1, 2013 by katy91

[faby91]

@@gardus esatto si intendevo proprio quello!!! :-)

 

Domanda: quindi non potrá mai esistere una cosa tipo z[3]4

in quanto 4>3 giusto???

[gardus]

 

 

una curiosità,si può operare anche in Z4,Z5 eccetera..?

 

Certo e valgono le medesime regole di calcolo ;-)

In Z₅ per esempio 4+3=2 e 2+3=0

Ogni intero positivo maggiore o uguale a due può essere preso come modulo per considerare una corrispondente classe di resto.

 

@@faby91 non ho capito la domanda!

[faby91]

@@gardus dajeee!!! :-)

 

Z3 ha solo numeri 0 1 2

 

Quindi i numeri 3+ non sono considerati?

[gardus]

@@faby91 aaaooo son gnucco nun capisco :P

 

Diciamo di "sì", però in realtà la questione sarebbe più complessa perché gli elementi di Z₃ non sono propriamente numeri, ma classi di equivalenza rappresentate da numeri :)

[faby91]

Ok capito!! ;-)

[Matty]

Ahahah ma dai, adesso 2+2=1?

L'ho sempre pensato che la Matematica fosse roba per pazzi xD