Domanda ai matematici e agli amanti della matematica

[mitomane2]

Salve matematici e amanti della matematica,

 

ho una domanda, come amante della matematica, volevo sapere se qualcuno di voi (come me) ha elaborato un metodo di calcolo e modi per risolvere vari problemi diversi da quelli insegnati a scuola?

Spero facciate molti gli esempi.....

[radioresa]

Personalmente non ho mai inventato nuovi metodi di calcolo.

Si tratta semplicemente di riuscire a rielaborare le conoscenze in modo da risolvere i problemi

con il cervello e non solo con un metodo.

Gli strumenti forniti dalla scuola agli allievi di una classe sono gli stessi: spetta poi ai singoli decidere se

limitarsi ad eseguire mnemonicamente quanto appreso oppure usare la propria testa.

 

Esempi concreti? Nah, adesso sono in vacanza

[bradipo]

per trovare il volume di un colindro con alle basi attaccati 2 coni con stessa base del cilindro

praticamente moltiplicavi l'area del trapezio che generava la figura per la circonferenza della base

senza trovare le aree dei 3 solidi staccate per poi sommarle

 

capito qualcosa? XD

[gardus]

Allora, durante gli anni del liceo non ho mai dovuto fare particolari sforzi creativi, alla fine le strade da percorrere erano sempre quelle ed i problemi che venivano proposti erano più o meno sempre gli stessi. Ti giuro che la marea ti cose da fare non mi permetteva di sprecare molto tempo cercando nuovi fantasiosi metodi... quelli che insegnavano erano più che sufficienti

 

All'università però le cose sono cambiate: durante gli esami molto spesso mi è stato chiesto di provare alcuni fatti che non avevamo visto durante il corso ma che si potevano dimostrare applicando le nozioni che avevamo imparato. Ti faccio un esempio: durante l'esame di Geometria IV (in cui si studiano "come dio comanda" curve e superfici) mi è stato chiesto di dimostrare che una superficie compatta ha almeno un punto ellittico. Ovviamente la definizione di punto ellittico è stata data durante il corso, ma non avevamo visto durante le lezioni questo fatto particolare: applicando anche un teorema fondamentale di Analisi Matematica alla fine sono riuscito a "costruire" la dimostrazione. All'università infatti (almeno a Matematica) non viene richiesta solo una conoscenza mnemonica: è ovvio che devi sapere le definizioni ed i risultati fondamentali, altrimenti non vai avanti, ma è molto importante riuscire anche a ragionare in maniera creativa ed indipendente. Questo forse non risponde integralmente alla tua domanda, ma ci va vicino.

 

Per concludere, io non ho mai elaborato nuovi metodi di calcolo per risolvere problemi, ma ho dovuto molto spesso usare la mia immaginazione per creare qualcosa, in particolare dimostrazioni mai viste prima.

 

Ora però sono curioso di sapere cosa hai creato tu ...

 

@@bradipo sei sicuro? :P

Edited July 22, 2012 by gardus

[Marcolino2]

Nuovi metodi di calcolo no, ma risolvere dei problemi con tecniche diverse, sì. Ad esempio al liceo in quarto dovevo risolvere un problema di trigonometria (di quelli parametrici con discussione) . Beh, non essendo allora molto amante della trigonometria, scelsi un sistema di riferimento cartesiano ed evitai la trigonometria applicando esclusivamente le nozioni di geometria analitica studiate l'anno prima. La prof. , che si aspettava seni e coseni , rimase un po' turbata...E anche per i problemi di fisica, molto spesso le strade percorribili sono diverse. L'importante è applicare correttamente i teoremi e le nozioni che si conoscono, in quanto a volte i percorsi per giungere ad un medesimo risultato non sono affatto univoci.

[mitomane2]

beh grazie a tutti per le risposte

premetto che io non ho studiato metodi riguardanti la geometria per il fatto che fino ad ora i mie prof. hanno trascurato la geometria per dare spazio alla matemetica e io nella domanda oltre a riferirmi alla geometria mi riferisco alle 4 operazioni fondamentali

@@bradipo non o capito a pieno quello che hai detto però penso sia una bella trovata

@@gardus non o escogitato metodi supergalatici ma per esempio io quando mi trovo a sommare dei numeri oltre le centinaia io anzichè sommarle come insegnano vale a dire sommare prime unità, decine, centinaia, ecc. io faccio l'esatto contrario calcolo prima le migliaia, prima di riportare il risultato controllo le centinaia e se più della metà dei numeri superano il 5 aggiungo alle magliaia poi faccio lo stesso con le centinai tenendo conto delle decine e così via, per alcuni può sembrare un calcolo troppo complicato e con una percentuale di errore più elevata però io mi trovo meglio a calcolare così e lo ritengo pure un bel esercizio per la mente.

poi mi ricordo che quando ero in prima superiore avevo una docente di matematica che a mio parere sia la prof. migliore al mondo riguardante la matematica perchè aveva un metodo di calcolo che io ho stimato e invidiato fin dall'inizio comunque tornando al discorso l'insegnante ha dato un esercizio da svolgere assai facile anche se sono stato l'unico a risolverlo senza l'aiuto del docente riguardava 2 ciclisti che partivano contemporaneamente però con una distanza tra loro di 40 km con 2 velocità differenti l'esercizio chiedeva di trovare il tempo che occorreva al ciclista partito dietro per superare l'altro io semplicemente ho calcolato la differenza di velocità tra i ciclisti e poi con la distanza tra i 2 ho calcolato il tempo avendo velocità e distanza, a primo impatto vi sembrerà una stupidaggine ma considerate che nessuno mi aveva spiegato o detto la formula della velocità e quando dopo un minuto che ho impiegato per fare i calcoli ho detto alla prof. che avevo la risposta e che non avevo utilizzato una equazione (la prof. aveva detto che per poter risolvere il problema era necessaria un'equazione) e quando ho spiegato come ho risolto l'esercizio lei è rimasta stupita per il fatto che questo tipo di calcoli ha detto li fanno gli alunni di 3 superiore e non quelli di prima.

questi sono 2 esempi che mi ricordo ora ma ce ne sono altri che quando mi verranno in mente non esiterò a dirveli.

[mitomane2]

marcolino2 ora mi hai fatto ricordare che pure io in fisica molto spesso seguivo strade diverse e a riguardo seni e coseni io li amo forse perchè oltre a utilizzarli in matematica devo utilizzarli pure in navigazione in cui mi ritengo un asso

[gardus]

non o capito a pieno quello che hai detto però penso sia una bella trovata

 

... però io ho qualche dubbio che sia corretto :P

Scusate, supposto che i due coni abbiano la stessa altezza, poniamo:

r = raggio della circonferenza di base del cilindro (e dei coni)

h = altezza del cilindro

H = altezza dei coni (supposta uguale)

pi = pi greco

Allora, il volume dell'intero solido descritto da @@bradipo, calcolato sommando i singoli volumi è:

(pi)r²h + 2/3(pi)r²H = (pi)r²[h+(2/3)H]

Facendo invece il calcolo considerando il trapezio (isoscele) che genera per rotazione il solido (come ho capito dal post di Bradipo, magari ho capito male) si ottiene:

 

AREA TRAPEZIO (che genera l'intero solido per rotazione) = (h+H)r

AREA TRAPEZIO x CIRCONFERENZA DI BASE = [(h+H)r] 2(pi) r = 2(pi)r²(h+H)

 

Sono risultati diversi! Magari c'è una particolare proporzione tra le altezze del cilindro e dei coni che rende i due risultati uguali, ma non vale in generale... occhio prima di usarlo nei compiti in classe!! @@Marcolino2 confermi?

 

a primo impatto vi sembrerà una stupidaggine

 

Non è una "stupidaggine", sei stato molto furbo e intelligente ;-)

 

Ora che ho capito il vero senso della tua domanda, posso dirti che di trucchi come quelli che hai descritto tu ne ho usati in continuazione, in particolare per semplificare i calcoli. Non mi convince però come fai i calcoli con numeri molto grandi... proprio non mi convince (mi sembra molto "arzigogolato" ed il rischio di sbagliarsi è elevatissimo...). Un "trucco" che ho usato molto spesso (ed userò sempre) per calcolare a mente differenze con riporto sfrutta la semplice proprietà associativa. Supponi per esempio di dover calcolare:

 

76 - 49

 

invece che applicare il solito algoritmo con i riporti, io calcolo:

 

(76 - 50) + 1 = 26 + 1 = 27 infatti 76 - 49 = 76 - (50 - 1) = 76 - 50 + 1

 

In questo modo, calcolando a mente, si arriva al risultato molto più velocemente. Provare per credere ;-)

Edited July 22, 2012 by gardus

[mitomane2]

gardus pure io uso lo stesso metodo che hai utilizzato nell'esempio non lo o citato perchè ormai per me e scontato che non ci ho pensato

[Marcolino2]

Ciao, gardus, se non ho capito anch'io male, i calcoli che hai svolto sui solidi sono corretti, li ho appena fatti.

[bradipo]

i 2 coni non devono avere la stessa altezza necessariamente

praticamente se vedi il solido tutto attaccato hai un colindro con a lato i coni

questo solido è generato da un poligono che sarebbe un trapezio (base maggiore = la distanza dei vertici dei 2 coni opposti, base minore= altezza del cilindro, un lato obliquo = ''spigolo'' cono, altro lato obliquo = ''spigolo'' dell'altro cono)

 

se l'area di questo trapezio la moltiplichi per la circonferenza della base del cilindro troviil volume del solido

perché in pratica prensi il trapezio e lo ruoti su se stesso, questo ruotamento va a occuppare un certo volume nello spazio che è poi il volume del solido finale

 

spero di essermi fatto capire questa volta XD

[gardus]

@@bradipo sì, sei stato molto più chiaro questa volta nell'esposizione, ma ciò che affermi è sbagliato :P

Il fatto che ti abbia dimostrato nel post precedente che non vale nemmeno se i due coni hanno la stessa altezza qualche sospetto doveva dartelo... ti prego, non voglio esserti antipatico, anzi, ma ci tengo a precisarlo perché magari qualcuno lo legge e si convince di una cosa sbagliata! Ti potrei fare la dimostrazione in via algebrica con un bel disegno (se la vuoi dimmelo che te la faccio davvero!) però ti puoi accorgere che il metodo descritto non funziona prendendo un esempio particolare; considera i seguenti dati:

h = (altezza del cono "più basso") = 1 cm

H = (altezza del cono "più alto") = 2 cm

l = (altezza del cilindro) = 3 cm

r = (raggio della circonferenza di base) = 1 cm

Esegui i calcoli (prima sommando i singoli volumi e poi applicando il metodo che hai descritto) e ti accorgi che i risultati sono diversi!!

 

perché in pratica prensi il trapezio e lo ruoti su se stesso, questo ruotamento va a occuppare un certo volume nello spazio che è poi il volume del solido finale

 

Sono perfettamente d'accordo che il solido si ottenga facendo ruotare su sé stesso quel trapezio, ma l'intuizione su come calcolare il volume qui gioca un brutto scherzo perché ci porta sulla strada sbagliata. Purtroppo, non è raro che l'intuizione sbagli!

 

Il fatto che come metodo non funzioni te lo mostra anche un caso molto più semplice: considera un banale triangolo rettangolo di base B e altezza H, "appoggiato" sulla base B. Se lo fai ruotare di 360° ottieni un cono, giusto? Bene, il volume del cono che ottieni è [(pigreco)*H*B²]/3 mentre se consideri l'area del triangolo rettangolo che lo genera per rotazione e la moltiplichi per la circonferenza di base trovi un valore diverso, e precisamente [(B*H)/2]*[2(pigreco)B]= (pigreco)*H*B² (il triplo del volume effettivo del cono generato).

 

Ti prego, bradipo, dimmi che adesso non ti sto antipatico ...

Edited July 23, 2012 by gardus

[radioresa]

Ho un ruotamento improvviso di testa

Comunque mi sono ricordato un esempio, o meglio me lo ricordo molto alla buona.

Si trattava di un problema di goniometria che si poteva risolvere in molti meno passaggi applicando la formula di Brahmagutpa o come cavolo si chiama xD

La prof mi ha guardato come per dire "esegui gli ordini, computer!", ma poi non ha potuto evitare di dire "seh, c'è anche questo metodo..."

[bradipo]

@@gardus ma non ti odio, ci mancherebbe solo XD

anzi meglio che me l'hai detto, casomai non ricadessi nello stesso errore :)

[Marcolino2]

Radioresa, purtroppo non tutti i prof. sono di mentalità aperta, ahimè. Invece sarebbe bello mostrare che per lo stesso problema a volte si possono trovare soluzioni utilizzando percorsi diversi.

[gardus]

@@mitomane2 mi è venuto in mente un trucchetto simpatico per calcolare i quadrati perfetti dei numeri che terminano con la cifra 5, spero ti piaccia

 

Allora, supponi di avere un numero intero positivo qualsiasi, che termina con la cifra 5: per calcolare il suo quadrato perfetto puoi considerare il numero formato da tutte le cifre che precedono "5", moltiplicarlo per il suo successivo ed aggiungere alla fine "25". Per esempio:

 

65² --> 6x7 = 42 aggiungi 25 alla fine e ottieni 4225 (infatti 65² = 4225)

75² --> 7x8 = 56 aggiungi 25 alla fine e ottieni 5625 (infatti 75² = 5625)

105² --> 10x11=110 aggiungi 25 alla fine e ottieni 11025 (infatti 105² = 11025)

e così via...

 

Ovviamente con numeri molto grandi non è particolarmente utile per fare calcoli mentali, però resta comunque una curiosità interessante!

La dimostrazione generale si può fare, se non ricordo male, sfruttando il principio di induzione (lo conosci? lo avete visto a scuola?)

 

@@bradipo meno male

[mitomane2]

@@gardus mi piace questo tuo metodo penso proprio che lo utilizzerò e purtroppo il principio di induzione non lo abbiamo fatto a scuola

[gardus]

Infatti di solito è raro che si veda a scuola... peccato, perché sono sicuro che lo apprezzeresti molto in quanto può essere usato per dimostrare tantissime piccole curiosità (e anche cose più importanti, ovviamente).

 

Un'altra curiosità che può essere dimostrata con il principio di induzione è che la somma dei primi n numeri interi positivi (1, 2, 3, ..., n) è uguale a [n(n+1)]/2.

Edited July 27, 2012 by gardus

[radioresa]

Adesso che ci penso nemmeno io ho mai visto il principio di induzione a scuola, me l'hanno insegnato in un corso facoltativo...

[SilverKitsune]

@gardus: il principio base delle sommatorie! Lo conosco!

Ho studiato analisi matematica I all'università (e a breve farò anche analisi matematica II) e devo dire che mi ha davvero aperto gli occhi sulla comodità degli integrali quando si tratta di calcolare aree e volumi, anche se per quest'ultimi devo ancora prenderci dimestichezza. Integrare una funzione in uno spazio tridimensionale non sempre è facile :P

 

Una delle parti della matematica che mi affascinano di più, e che ho intuito da piccola, riguarda il calcolo delle permutazioni e delle probabilità. Per un esempio semplice di calcolo delle permutazioni prendiamo le targhe delle automobili, del formato AA 000 AA dove le A sono lettere qualsiasi e gli 0 sono numeri qualsiasi. Restringiamo il campo: abbiamo come lettere possibili a, b, c, d, e, f, g, h, j, k, m, n, p, r, s, t, v, w, x, y, z (le altre sono state rimosse per evitare ambiguità con i numeri o altre lettere già presenti). Come cifre possibili abbiamo quelle da 0 a 9. Quindi sono 21 lettere divise su 4 spazi, e 10 cifre su 3 spazi.

 

Sappiamo bene che da 000 a 999 ci passano mille numeri. Infatti 10^3 = 1,000!

Ora 21^4 = 194,481, le combinazioni possibili per le lettere. Se ora vogliamo ottenere il numero totale di targhe di automobili possibili, abbiamo 21^4 * 10^3 = 194,481,000 =)

[gardus]

@@radioresa scusa se in precedenza con i miei post ti ho causato un forte routamento di testa, non era mia intenzione :-D

 

Integrare una funzione in uno spazio tridimensionale non sempre è facile :P

 

LOL capisco... mi ricordo ancora una battuta del nostro Prof. di Analisi Matematica: dopo aver enunciato i teoremi di Fubini/Tonelli disse: "Ecco, di questi teoremi non vediamo la dimostrazione... sarà già tanto se riuscirete ad usarli" :P Comunque se hai problemi con qualche integrale mostruoso, Marcolino ed io abbiamo aperto un topic nella sezione Scuola & Lavoro: puoi chiedere quello che vuoi!

 

@@mitomane2 mi è venuto in mente un altro metodo di calcolo simpatico (scusa ma mi stanno venendo in mente un po' alla volta!)

Questo serve per riuscire a calcolare mentalmente il prodotto di due numeri interi di due cifre, sotto l'ipotesi che abbiano la medesima cifra delle decine e con le relative cifre delle unità che sommate diano come risultato 10. Per esempio:

 

49*41 67*63 36*34 98*92 42*48

 

Bene, invece che applicare il solito algoritmo "in colonna" si può procedere così: (prendo come esempio il caso 49*41)

 

1) si moltiplica la cifra delle decine per il suo successivo (4*5 = 20)

2) si moltiplicano tra loro le cifre delle unità, premettendo uno 0 se il risultato è strettamente minore di 10 (9*1 = 9 -- > 09)

3) si scrive il risultato ottenuto al passo 1 davanti a quello ottenuto al passo 2 (2009)

 

Infatti, (provare per credere) 49*41=2009 ;-)

Questo è un trucchetto molto potente perché ottieni in un batter d'occhio il risultato con semplicissimi calcoli mentali!

Edited July 28, 2012 by gardus

[SilverKitsune]

Bellissimo il teorema di Fubini-Tonelli, l'ho usato fino alla nausea nello svolgimento degli integrali multipli xD a me è sembrato abbastanza semplice da applicare, il problema stava proprio nel trovare una funzione x-semplice o y-semplice, fortunatamente non abbiamo mai trattato casi più complessi di quelli... non è escluso che lo farò ad Analisi II però :|

Mi ricorderò senz'altro del topic, di matematica a ingegneria ce n'è un bel po' e indubbiamente mi tornerà utile :P

Comunque carini tutti questi metodi matematici, li hai ricavati da solo?

[gardus]

@@SilverKitsune Adorando la teoria dei numeri (dalle cose più semplici come queste a quelle più complesse ed articolate) mi ricordo che tempo fa cercai qualcosa su tutti questi trucchetti di calcolo e quelli più simpatici li ricordo tuttora. Quello che però ho fatto è stato divertirmi a dimostrarli

 

Sì, sono d'accordo che applicare il teorema di Fubini non sia difficile, una volta che si sa in che modo bisogna procedere: il problema spesso è trovare la strada giusta per risolvere un integrale e proprio a questo si riferiva il nostro prof ;-)

Edited July 29, 2012 by gardus